Thursday, March 30, 2006

PRODUTOS NOTÁVEIS

PRODUTOS NOTÁVEIS


Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]






QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =  (R: x⁴ - 2x² + 1)                       
l) (9x² - 1)² = (R:  81x⁴- 18x² + 1)
m) (x³ - 2)² = (R:  x⁶ - 4x³ + 4)
n) (2m⁵ - 3)² = ( R:
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =






PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²


EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴)
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16)
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴)
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =






CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³


EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)
f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³

86 Comments:

At 1:19 PM, Blogger gian said...

ow vei vlw msm, tirei 9 na prova de ontem q caiu isso por causa d vc^^

vlw msm!@@!@

 
At 3:16 PM, Blogger Carmem said...

q massa essa "apostila" parabens vcs são dez continuem assim.vlw

 
At 5:42 PM, Blogger lukassat said...

Obrigado me ajudou no trabalho de matematica ,lembre-se que cada coisa que vc posta ,vc pode pensar que ninguem estar vendo,mas estar enganado todo mundo precisa de cada um.
Obrigado
se vc gostar de mecher com programação tenho uns cursos bom comunidade web,becck,entre oturos
me add no msn lu_kassat@hotmail.com

 
At 7:19 AM, Blogger rubi said...

(2a²+3b)²

 
At 7:19 AM, Blogger rubi said...

pode me mandar a resposta?

 
At 4:06 AM, Blogger Eduardo said...

Bah valeu mesmo mt bom esse site
parabéns
me ajudou mt (tirei tds minhas duvidas
abraços

 
At 12:17 PM, Blogger ariane__moreninha said...

Obrigada! Isso me ajudou muito na prova de dependência. Parabéns!VLW!

 
At 3:12 PM, Blogger Victor said...

ow whe is super lega seu bando de filhadaputa

 
At 11:12 AM, Blogger necro... said...

adorei o site apenas algumas questoes que nao concordei com as resposta mas foram poucas mas mtu bom msm continue assim vc pode ajudar mta gente sem nem perceber abs e vlw pela ajuda que foi muita brigadao msm!

 
At 1:16 PM, Blogger Bia LovePink *Patty* said...

o.O Brigada!
Muito perfect esses exercícios
Kisses

 
At 1:29 PM, Blogger Camila said...

muito obrigada meesmo! tirei bastantes duvidas por aqui!
;)

 
At 4:21 PM, Blogger kelly said...

eu estou na 8º serie e nao sabia produtos notaveis
agora eu sei valeu po me ajudar

 
At 8:39 PM, Blogger ana carolina said...

oii eu queria as respostass...
muito bomm viuu

carol__giachini@hotmail.com

 
At 5:39 PM, Blogger ' Liipe xD said...

mto bom, mas keria o calculo das ultimas contas ;___;

 
At 5:24 PM, Blogger anny said...

Oiie,gostaria da resposta dos 2 ultimos número!!
Mas valeu,me ajudou bastante
bjoss!
add ai quem quiser: helaynnealmeida@hotmail.com

 
At 10:46 AM, Blogger GABRIEL said...

VALEU AÍ, AJUDOU MUITO, A PROVA É AMANHÃ, MAS TENHO CERTEZA QUE VOU ME DAR BEM, GRAÇAS AO SEU QUESTIONÁRIO.

 
At 7:40 AM, Blogger Mariana said...

muuuuuuito obrigada, "carinhas", fechei minha prova!

 
At 2:46 PM, Blogger Danilo said...

preciso de 35 exercicios de produtos notaveis
(todos diferentes um do outro)
por favor envien nesse e-mail

daniloolliveira44@hotmail.com

Muito Obrigado

 
At 2:35 PM, Blogger brendo said...

Caraaa parabens de mais mto foda eu acho que vo tira uma nota boua com sua ajuda, vlw msm continue postando calculos matematicos e continuem ajudando HUEIHEUHIUEhi vlw vlw mto

 
At 2:36 PM, Blogger brendo said...

Caraaa parabens de mais mto foda eu acho que vo tira uma nota boua com sua ajuda, vlw msm continue postando calculos matematicos e continuem ajudando HUEIHEUHIUEhi vlw vlw mto

 
At 12:15 PM, Blogger Júlia e Fernanda said...

mo medo da prova que vou ter amanha, com esses exercicios eu fiquei tranquila, valeuu

 
At 12:15 PM, Blogger Júlia e Fernanda said...

mo medo da prova que vou ter amanha, com esses exercicios eu fiquei tranquila, valeuu

 
At 8:30 AM, Blogger Elvis Willian said...

obg amigo

 
At 3:44 PM, Blogger Mayara Guimarães said...

Simplesmente perfeito valeu pela ajuda

 
At 1:54 PM, Blogger viaduct_pink said...

e muito legal a gente aprende muito

 
At 10:56 AM, Blogger Blogg da Amandiinha said...

mto bom

 
At 8:18 AM, Blogger Viagens said...

brigada gente, ajudou mt pra mim estudar para minha prova de hje, um beijaaao

 
At 3:45 PM, Blogger Pablo Bastiani said...

Parabéns, muito bem explicado.

Tirou todas as dúvidas.

 
At 7:27 PM, Blogger Gabizinha said...

Boom minha prova é amnhã ja colokei os fatoração ja decorei mais ta um pokinho dificil os produtos notaveis :S boom mais ja to decorando !!

OBS: Muiito bom ! Obrigado espero que me ajude kkkkk'

 
At 7:37 AM, Blogger poliana said...

podem me mandar a resposta?
preciso conferir meu trabalho pra ver se corrigiu ele certo???
poliana 0404@hotmail.com

 
At 7:37 AM, Blogger poliana said...

podem me mandar a resposta?
preciso conferir meu trabalho pra ver se corrigiu ele certo???
poliana 0404@hotmail.com

 
At 5:07 AM, Blogger tristao said...

valeu muito bom este site

 
At 5:08 AM, Blogger tristao said...

valeu muito bom este site

 
At 7:39 AM, Blogger maisa joara said...

muito bom obrigado mais ainda faltam algumas respostas

 
At 11:46 AM, Blogger Fernando Erick said...

quando tiver novidades manda pro meu email fazendo favor fernandoerick14@hotmail.com

 
At 11:46 AM, Blogger Fernando Erick said...

quando tiver novidades manda pro meu email fazendo favor fernandoerick14@hotmail.com

 
At 8:27 AM, Blogger Giorgi Lucca said...

Muito bom essa "APOSTILA"

 
At 4:55 AM, Blogger Dudinha marques said...

vlw esse e um otimo conteudo para estudar pra prova ameiii!

 
At 2:09 PM, Blogger Vitória Guimarães said...

Gostaria de fazer uma pergunta! A seguinte: Quando tem os cálculos sobre o "Quadrado da soma de dois termos", na letra l, tem o seguinte cálculo: (3y+3x)² = 9y²+ 18xy+ 9x².
A resposta no 18xy, não deveria ser: 18yx? Pois, o "y" vem primeiro.

 
At 5:34 AM, Blogger Lucas Santin said...

MAS Ó Q BEUSO HOME DO CÉLE

 
At 5:34 AM, Blogger Lucas Santin said...

MEU CRUMPADE AMOU

 
At 5:35 AM, Blogger Lucas Santin said...

TOP ESSE SITE FUI EU Q CRIEI

 
At 5:36 AM, Blogger bien vindo said...

boa lucas

 
At 5:36 AM, Blogger Lucas Santin said...

NAO LEIA NAO LEIA AGORA QUE VOCE LEU VC É GAY HAHAHAHA

 
At 5:36 AM, Blogger Lucas Santin said...

E AE VIADÃO

 
At 5:37 AM, Blogger bien vindo said...

BOA LUCAS MUITO FERA ESSE SITE, AMEI <3 LINDO

 
At 5:37 AM, Blogger Lucas Santin said...

QUANTO É 1+1 PRECISO DE AJUDA

 
At 5:38 AM, Blogger Lucas Santin said...

É 3 ?

 
At 5:38 AM, Blogger Lucas Santin said...

OU 7 ?

 
At 5:38 AM, Blogger bien vindo said...

BAH NÃO FAÇA PERGUNTAS DIFÍCEIS

 
At 5:38 AM, Blogger Lucas Santin said...


BG

 
At 5:39 AM, Blogger Lucas Santin said...

E QUANTO É 1235325235982356356 39286 97.5+77+7.-5.+5.7-5+74.75-7.-75-7.57+5-754.-7.4-.8-.9-.9-6

 
At 5:39 AM, Blogger Lucas Santin said...

????????????????????????????????????????????????????????????????????????

 
At 5:40 AM, Blogger bien vindo said...

54543556545435352435
ACHO QUE TA CERTO

 
At 5:41 AM, Blogger Lucas Santin said...

BOM MEU SITE NEH ? DEMOREI MT PRA FAZE

 
At 5:41 AM, Blogger bien vindo said...

PQP MINHA PIROCA É UM FUZIL

 
At 5:41 AM, Blogger Lucas Santin said...

CALMAAAAA MARIAAAAAA

 
At 5:42 AM, Blogger Lucas Santin said...

TE ACALMA LOKA

 
At 5:42 AM, Blogger Lucas Santin said...

I'M VERY BEAUTIFUL

 
At 5:42 AM, Blogger bien vindo said...

This comment has been removed by the author.

 
At 5:43 AM, Blogger Lucas Santin said...

#ZEZÉ GATAO

 
At 5:43 AM, Blogger bien vindo said...

RELAXA O CORAÇÃO MARIA

 
At 5:43 AM, Blogger Lucas Santin said...

#PEDRO ZIK4

 
At 5:44 AM, Blogger Lucas Santin said...

TO TRISTE TO COM FOME

 
At 5:44 AM, Blogger Angelo Capra said...

pansudo esse kawan

 
At 5:44 AM, Blogger Lucas Santin said...

#PARTIU ESTREBARIA

 
At 5:45 AM, Blogger Lucas Santin said...

ANGELO RANHENTO

 
At 5:45 AM, Blogger Angelo Capra said...

VAI COMO BANHA E RANHO COM FAROFA

 
At 5:45 AM, Blogger Lucas Santin said...

#PARTIU COME FAROFA

 
At 5:46 AM, Blogger Lucas Santin said...

E OVO

 
At 5:46 AM, Blogger bien vindo said...

I'M GAY!!

 
At 5:47 AM, Blogger bien vindo said...

COM MILHO CUZIDO

 
At 5:47 AM, Blogger Lucas Santin said...

QUEM COMENTOU VAI TER Q ME PAGA 50 PAU SE Ñ VO DA UMA BIFA NA CARA

 
At 5:47 AM, Blogger Lucas Santin said...

QUEM É DA GREBA ?

 
At 5:48 AM, Blogger bien vindo said...

EUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

 
At 5:49 AM, Blogger bien vindo said...

OUOUIEIEI SEM VC Ñ VIVEREI

 
At 5:49 AM, Blogger Lucas Santin said...

UOUOIEIEIIIIIIIIIIIII

 
At 5:50 AM, Blogger Lucas Santin said...

O BNDE PASSOU

 
At 5:50 AM, Blogger Lucas Santin said...

''BONDE''

 
At 5:51 AM, Blogger Lucas Santin said...

E AS NOVINHA OBS

 
At 5:53 AM, Blogger Lucas Santin said...

AS ANDORINHAS VOLTARAM E EU TB VOLTEI

 
At 10:38 AM, Blogger Mathews De leon said...

Me ajudou muuuuuuito para estudar para prova de amanhã!!!! XD

 
At 7:52 AM, Blogger Miscellaneous issues said...

me ajudou bastante...obg

 
At 3:35 PM, Blogger Razer Games said...

pow kra vlw msm entendo nesse site oq o professor me explico o ano todo ... tipo fiquei de recuperação de matematica por causa d um ponto e so dele + cleio q vou passa msm sendo todo esses assuntos: triangulos:Elementos,classificação,soma dos angulos internos.
Quadrilateros: elementos,classificação,soma dos angulos internos..
circuferencia:complimentos..
e produtos notaveis...

 
At 3:36 PM, Blogger Razer Games said...

pow kra vlw msm entendo nesse site oq o professor me explico o ano todo ... tipo fiquei de recuperação de matematica por causa d um ponto e so dele + cleio q vou passa msm sendo todo esses assuntos: triangulos:Elementos,classificação,soma dos angulos internos.
Quadrilateros: elementos,classificação,soma dos angulos internos..
circuferencia:complimentos..
e produtos notaveis...

 
At 8:52 AM, Blogger Ana Carolina Alves Pereira said...

Boa tarde,

Gostaria de saber como você chegou no resultado do exercício t) de quadrado da soma de dois termos.

Fiquei com uma dúvida quando existe um número dentro do parenteses elevado a outro (nesse caso elevado a 3) e depois elevado a 2.

 

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